читал на новогодних каникулах воспоминания о Зельдовиче, и наткнулся там на такой момент: выпускник физфака приходит на дом к Зельдовичу устраиваться на работу. тот ему в качестве теста указывает на радиометр Крукса и говорит объяснить принцип его действия. молодой физик пишет, что он сумел только сказать, что дело не в давлении света, а в том, что при столковении молекул воздуха с черной стороной импульс отдачи больше, чем при столкновении со светлой стороной лопастей.
радиометр Крукса - это колба, из которой откачали почти весь воздух, там есть крыльчатка с лопастями, одна сторона которых зачернена. если осветить радиометр, крыльчатка начинает вращаться. когда сам Крукс делал этот гадгет, он думал, что демонстрирует давление, оказываемое светом. на самом деле давление света слишком мало, чтобы вращать такую здоровую штуку.
у меня такой характер, что когда всплывают такие расчетные вещи в любом контексте, меня клинит их решить. например, фильм "Умница Уилл Хантинг" я смотрел ровно до того места, где Уилл пишет на доске в коридоре какие-то формулы. дальше я фильм уже не смотрел, а пытался понять, к чему эти формулы и как их самому вывести. так часто со мной бывает.
и с этими мемуарами также получилось. мне загорелось разобраться в принципе работы радиометра. на самом деле не исключено, что нам на лекциях что-нибудь про это рассказывали, но я этого не помню. что я помню, я читал книгу Хуанга "Статистическая механика", и про радиометр Крукса в ней была какая-то задача. так и оказалось. в конце 7-ой главы "Явления переноса" есть 2 задачи, имеющие отношение к радиометру.
впрочем, надо объяснить, почему вообще есть необходимость искать какие-то книги по этому поводу. ведь совершенно очевидно, что сила оказываемая на лопасть, находится просто и равна pS, p - давление, S - площадь лопасти. это что касается светлой лопасти. в отношении зачерненной лопасти немного сложнее. молекула, ударяющая по лопасти, имеет энергию, соотвествующую температуре газа, в среднем. какая ей разница, какая температура у лопасти? более детально: есть молекула воздуха, молекула лопасти, они сталкиваются и разлетаются. скорости обоих молекул распределены по Максвеллу с тмпературами Т и T' соответственно. можно рассмотреть кинетику этого процесса, написать соответствующий интеграл столкновений. проблема в том, что дальше с этим делать. очевидно, что меня не интересует релаксация газа до температуры T'. результатом должно стать некое граничное условие на поверхности лопастей.
в Хуанге по поводу этой задачи предлагается следующая модель: столкновение со светлой стороной упругое, с зачерненной сотороной - молекла прилипает, а затем отлипает со скоростью, распределенной соответственно температуре T'>T. легко подсчитать, что тогда давление на зачерненную сторону равно p/2+p'/2, p'=pT'/T. тогда сила, действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS/2.
вроде все понятно, но все равно остается неясной роль разрежености воздуха. указывается, что при нормальном давлении эффект отсутствует, при большой разреженности лопасти вращаются светлой стороной вперед, при более плотном газе лопасти вращаются зачерненной стороной вперед. эффект зависит от соотношения средней длины свободного пробега и линейного размера лопастей.
зависимость от средней длины пробега указывает на необходимость рассматривать интеграл столкновений молекул воздуха между собой. таким образом, в пространстве, около лопастей конкурируют между собой 2 кинетических механизма - столкновения молекул воздуха между собой и столкновения молекул воздуха со стенкой. разбираем 3 случая.
1. средняя длина свободного пробега много меньше размеров лопастей. при столкновениях молекул воздуха с молекулами стенки, например, лобовых, происходит обмен импульсами. в среднем импульс молекулы воздуха после столкновения выше, чем до. при малой длине свободного пробега произойдет много столкновений этой горячей молекулы с другими, и ее энергия быстро диссипирует. столкновительный член имеет порядок 1/L, L - средняя длина свободного пробега, следовательно, усреднение кинетического уравнения даст обычные уравнения гидродинамики, значения температур на лопастях будут влиять только как граничные условия. так как теплопроводность воздуха очень мала, давление фактически зависит только от плотности воздуха, поэтому решение уравнений гидродинамики даст одинаковые значения давления на обоих сторонах лопастей. эффект в данном случае отсутствует.
2. средняя длина свободного пробега много больше линейного размера лопастей. в этом случае главным релаксационным механизмом будет столкновение молекул воздуха с лопастями. столкновения между молекулами воздуха практически отсутствуют. таким образом, установившееся распределение молукул воздуха у зачерненной стороны лопастей будет максвелловским распределением с температурой T'. сответственно, сила действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS
3. средняя длина свободного пробега сравнима с линейным размером лопасти. в этом случае надо учитывать оба столкновительных члена. тут я на пальцах ничего понять не смог, но смог кое-что прочесть из работы Эйнштейна на эту тему. горячие молекулы после столкновения имеют меньшую длину свободного пробега, чаще сталкиваются с другими молекулами и поэтому уменьшают число столкновений молекул с лопастью. т.е. сила на зачерненную сторону лопасти есть kpST'/T, kT'/T - меньше 1.
последний случай самый интересный, и я еще не доисследовал его до конца. надо по-честному расписать уравнения кинетики и оценить вклады.
ps. в педивикии я прочел, что одним из объяснений эффекта считается привлечение в рассмотрение теплового скольжения - это когда молеклы на поверхности тела скользят в сторону повышения тмепературы. в этом случае создается разрежение на светлой стороне лопастей, и соответствующая разница давлений вращает крыльчатку.
радиометр Крукса - это колба, из которой откачали почти весь воздух, там есть крыльчатка с лопастями, одна сторона которых зачернена. если осветить радиометр, крыльчатка начинает вращаться. когда сам Крукс делал этот гадгет, он думал, что демонстрирует давление, оказываемое светом. на самом деле давление света слишком мало, чтобы вращать такую здоровую штуку.
у меня такой характер, что когда всплывают такие расчетные вещи в любом контексте, меня клинит их решить. например, фильм "Умница Уилл Хантинг" я смотрел ровно до того места, где Уилл пишет на доске в коридоре какие-то формулы. дальше я фильм уже не смотрел, а пытался понять, к чему эти формулы и как их самому вывести. так часто со мной бывает.
и с этими мемуарами также получилось. мне загорелось разобраться в принципе работы радиометра. на самом деле не исключено, что нам на лекциях что-нибудь про это рассказывали, но я этого не помню. что я помню, я читал книгу Хуанга "Статистическая механика", и про радиометр Крукса в ней была какая-то задача. так и оказалось. в конце 7-ой главы "Явления переноса" есть 2 задачи, имеющие отношение к радиометру.
впрочем, надо объяснить, почему вообще есть необходимость искать какие-то книги по этому поводу. ведь совершенно очевидно, что сила оказываемая на лопасть, находится просто и равна pS, p - давление, S - площадь лопасти. это что касается светлой лопасти. в отношении зачерненной лопасти немного сложнее. молекула, ударяющая по лопасти, имеет энергию, соотвествующую температуре газа, в среднем. какая ей разница, какая температура у лопасти? более детально: есть молекула воздуха, молекула лопасти, они сталкиваются и разлетаются. скорости обоих молекул распределены по Максвеллу с тмпературами Т и T' соответственно. можно рассмотреть кинетику этого процесса, написать соответствующий интеграл столкновений. проблема в том, что дальше с этим делать. очевидно, что меня не интересует релаксация газа до температуры T'. результатом должно стать некое граничное условие на поверхности лопастей.
в Хуанге по поводу этой задачи предлагается следующая модель: столкновение со светлой стороной упругое, с зачерненной сотороной - молекла прилипает, а затем отлипает со скоростью, распределенной соответственно температуре T'>T. легко подсчитать, что тогда давление на зачерненную сторону равно p/2+p'/2, p'=pT'/T. тогда сила, действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS/2.
вроде все понятно, но все равно остается неясной роль разрежености воздуха. указывается, что при нормальном давлении эффект отсутствует, при большой разреженности лопасти вращаются светлой стороной вперед, при более плотном газе лопасти вращаются зачерненной стороной вперед. эффект зависит от соотношения средней длины свободного пробега и линейного размера лопастей.
зависимость от средней длины пробега указывает на необходимость рассматривать интеграл столкновений молекул воздуха между собой. таким образом, в пространстве, около лопастей конкурируют между собой 2 кинетических механизма - столкновения молекул воздуха между собой и столкновения молекул воздуха со стенкой. разбираем 3 случая.
1. средняя длина свободного пробега много меньше размеров лопастей. при столкновениях молекул воздуха с молекулами стенки, например, лобовых, происходит обмен импульсами. в среднем импульс молекулы воздуха после столкновения выше, чем до. при малой длине свободного пробега произойдет много столкновений этой горячей молекулы с другими, и ее энергия быстро диссипирует. столкновительный член имеет порядок 1/L, L - средняя длина свободного пробега, следовательно, усреднение кинетического уравнения даст обычные уравнения гидродинамики, значения температур на лопастях будут влиять только как граничные условия. так как теплопроводность воздуха очень мала, давление фактически зависит только от плотности воздуха, поэтому решение уравнений гидродинамики даст одинаковые значения давления на обоих сторонах лопастей. эффект в данном случае отсутствует.
2. средняя длина свободного пробега много больше линейного размера лопастей. в этом случае главным релаксационным механизмом будет столкновение молекул воздуха с лопастями. столкновения между молекулами воздуха практически отсутствуют. таким образом, установившееся распределение молукул воздуха у зачерненной стороны лопастей будет максвелловским распределением с температурой T'. сответственно, сила действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS
3. средняя длина свободного пробега сравнима с линейным размером лопасти. в этом случае надо учитывать оба столкновительных члена. тут я на пальцах ничего понять не смог, но смог кое-что прочесть из работы Эйнштейна на эту тему. горячие молекулы после столкновения имеют меньшую длину свободного пробега, чаще сталкиваются с другими молекулами и поэтому уменьшают число столкновений молекул с лопастью. т.е. сила на зачерненную сторону лопасти есть kpST'/T, kT'/T - меньше 1.
последний случай самый интересный, и я еще не доисследовал его до конца. надо по-честному расписать уравнения кинетики и оценить вклады.
ps. в педивикии я прочел, что одним из объяснений эффекта считается привлечение в рассмотрение теплового скольжения - это когда молеклы на поверхности тела скользят в сторону повышения тмепературы. в этом случае создается разрежение на светлой стороне лопастей, и соответствующая разница давлений вращает крыльчатку.
Комментариев нет:
Отправить комментарий