тарелка и Фейнман

давно давно, еще в школе, читал известную книгу Фейнмана, "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман?". там есть такое место:

Примерно через неделю я был в кафетерии, и какой-то парень, дурачась, бросил тарелку в воздух. Пока она летела вверх, я увидел, что она покачивается, и заметил, что красная эмблема Корнелла на тарелке вращается. Мне было совершенно очевидно, что эмблема вращается быстрее, чем покачивается тарелка.
Мне было нечего делать, и поэтому я начал обдумывать движение вращающейся тарелки. Я обнаружил, что, когда угол наклона очень маленький, скорость вращения эмблемы вдвое больше, чем скорость покачивания, – два к одному.

 так вот, сколько я ни бился, не могу воспроивести этот результат. для меня очевидно, что имеет место свободная прецессия. а раз так, нетрудно посчитать:

Итак, у меня получается результат, обратный результату Фейнмана - частота прецессии вдвое больше частоты вращения. Не знаю, что и думать.

Почему сосиска лопается вдоль, а не поперек

Объяснение такое:

Почему-то везде пишется, что в случае А сила поверхностного натяжения больше, чем в случае Б. но это не так. Сила поверхностного натяжения в обоих случаях одна и та же, что вдоль линии, параллельной оси сосиски, что вдоль линии, имеющей форму круга и перпендикулярной оси сосиски.

Все дело в том, что при увеличении давления внутри сосиски в случае А сила, разрывающая поверхность сосиски, отсутствует (равна 0), а в случае Б эта сила ненулевая. Она до поры компенсируется поверхностным натяжением, но когда его превысит, то образуется разрыв - вдоль линии, параллельной оси.

Нитка с грузом на цилиндре

Это задача, в которой имеются начальные условия с особенностями.
Все расписано на самих картинках, добавить нечего.

Бесконечност в механике! Не думал, что такое возможно.

Падающая пружина

на ютубе видел такой ролик - кто-то снимал высокоскоростной камерой, как падает пружина. вначале он дал ей растянуться и успокоиться, а затем отпустил ее. пружина стала падать, сжимаясь по дороге, а ее нижний конец не двигался с места. к сожалению, я не сохранил ссылку на этот ролик, было бы неплохо ее здесь оставить. вобщем, я не досматривал его до конца, может там и объяснялось это явление, но мне загорелост самому разобраться в этой задаче.

Итак,

я пытался получить этот результат с помощью какого-нибудь общего принципа, но что-то ничего на ум не пришло.

хочу добавить, что некоторую сложность мне доставил процесс выделения центра масс. интуитивно понятно, что в падающей системе отсчета нет силы тяжести, и что энергия распадается на сумму энергии центра масс и упругой энергии, но в формулах я много попутался.

Задача Бернулли

Вот что это такое (забыл на рисунке показать оси координат, Ox - сверху вниз, Oy - слева направо):

Мне в этой задаче интересно то, что я не могу вывести уравнения движения обычным способом, рассматривая лагранжиан модели. Способ, основанный на рассмотрении законов сохранения для малого элемента, гораздо продуктивнее здесь. Но проблема в том, что я им не очень хорошо владею. Я очень часто запутываюсь в знаках сил и приходится подгонять знаки в конечных уравнениях. Кажется, что и теперь в уравнении для x я напутал в знаке. А жаль, так как метод очень сильный и позволяет рассматривать всю механику сплошных сред.

Задача 3 тел 2

с этой задачей я разобрался еще неделю назад, но произошло много событий, мешающих мне написать об этом. сейчас наконец нашлось время для этого.

мне не хотелось расписывать тут всю математику, поэтому сделал все в ворде и просто сканировал текст.

итак:

как-то я нигде про такое не читал. разумеется, выкладки элементарные, однако, например, в Дубошине излагается какая-то запутанная шняга по поводу этой задачи.

хотя я такое получил, но интерес к реальным расчетам у меня стремительно упал. вряд ли я буду что-то считать. еще мне хотелось вывести уравнения для центра масс системы планет, и как он взаимодействует с Солнцем, но тоже уже не хочется.

задача 3 тел

последнее время, измеряемое в часах, меня разбирает написать такую форму лагранжиана системы 3 тел, которая была бы удобна для применения теории возмущений. но как-то не получается. либо возникают возмущения, зависящие от скоростей, либо выражение становится несимметричным по массам планет (3-е тело - солнце). хотелось бы построить такую форму, чтобы в нулевом приближении получалось по задаче 2 тел для каждой из планет плюс возмущение, проистекающее от взаимодействия между планетами. также стало очевидным, что орбиты обоих планет не обязаны лежать в одной плоскости.

если на выходных буду бездельничать, то попробую разобраться в этом вопросе. еще вспоминается, что давно смотрел видеолекцию стекловского института, касающуюся этого вопроса.

Квантовая теория излучения

наверно, это какая-то заразная болезнь. я вдруг снова решил прочитать мемуары Шкловского, впервые читанные мной в юности в журнале "Химия и жизнь". кто читал, знает, что там есть рассказ "Квантовая теория излучения". и оказалось, что еще несколько моих приятелей в почти то же самое время независимо перечитывали Шкловского и именно этот рассказ.

забавно, что я пытался тогда читать Гайтлера, хотя бы чтобы понять, насколько я силен в физике. ничего путного не вышло, конечно, так же как у Шкловского. и уже позже, при учебе в универе пытался читать, наверно, смог бы, но не зацепило, не захотелось время тратить на доисторическую книгу. потому что, проще было прочесть какого-нибудь ландавшица или ициксона и получить те же результаты. даже проще, чем разбираться в Гайтлере. к 4 курсу читать его нужды не было никакой, все это я уже умел. т.е. мне не удалось научиться чему-нибудь из Гайтлера.

сейчас же пришло в голову, что этот физик - Вальтер Гайтлер - известен мне лишь своей книгой. хотя я много читал про Гейзенберга, но как-то Гайтлера он нигде не упоминает. а может, и упоминает, но мельком. из чтения педивикии я узнал, что Гайтлер был учеником Зоммерфельда, ассистентом Борна - теми людьми, с которыми активно работал Гейзенберг. Гайтлер даже стажировался в институте Бора в Копенгагене, и пишут, что он придумал обменные силы при описании атома водорода. а я то всегда считал, что их изобрел Гейзенберг! может, они были конкурентами, поэтому не пишут друг о друге.

на этих фотках квантовомеханической команды Гайтлер тоже есть

апгрейд ноута v2 final

в одном из предыдущих постов - апгрейд ноута я писал, что жду процессор t9300 для своего ноутбука. и вот не далее как вчера он наконец пришел. я-то думал, что мне надо ждать почтового извещения и затем плестись на почту, но оказывается, expedited mail  - это когда курьер приезжает к тебе на дом и привозит посылочку! и такой сервис я получил забесплатно, потому что продавец сделал free shipping.

итак я получил проц и по мануалу из интернетов я менял проц в ноутбуке. разборка прошла без вопросов, но возникла небольшая трудность с термопастой coolermaster. когда я стал выдавливать ее на крышку процессора, полилась какая-то жидкость, которую я сначала принял за воду! потом, правда, обнаружилось, что эта жидкость очень быстро испаряется, даже быстрее спирта. но все равно, я не осмелился оставлять на процессоре, очистил по новой поверхности проца и системы охлаждения, выдавил из тубика с термопастой некотрое количество пасты, пока не пошла более менее вязкая, и тогда уже намазал. из-за того, что эта жидкость быстро испаряется, паста через некоторое время густеет и превращается в подобие резинки. я раньше пользовался алсил-3 и кпт-8, они не так себя ведут, хорошие не высыхают годами. как себя поведет эта, мне пока не известно, буду мониторить температуру процессора. пока я наблюдаю, что в среднем температура градусов на 8-10 ниже, чем на старом целероне. это радует.

еще запомнилось, как windows xp конфигурилась под новый 2-х ядерный процессор. все прошло автоматически, не пришлось менять ядра руками. после включения windows обнаружила новое устройство "многопроцессорный компьютер с acpi", установило для него драйверы (т.е. ядро) и в конце потребовало перезагрузки. и все!

теперь ноутбук работает с памятью на частоте 667 мгц (раньше было 533 мгц), с процессором на шине 200 мгц с коэффом 13х - 2600 мгц (раньще был 1860 мгц, коэфф 14, шина 133 мгц т.к. новый процессор имеет коэфф 12.5, который на этом чипсете округлился до 13, то получился небольшой разгон - с 2500 мгц до 2600 - 4%), с FSB 800 мгц (раньше было 533 мгц). попробую еще залезть в БИОС, может удасться разогнать память до 800 мгц.

самое главное - новый процессор 2-х ядерный с кешем 6 Мб - против старого 1-ядерного с 1 Мб-ным кешем!

в общем, я доволен.

Рене Декарт - о радуге

помещаю сюда работу Декарта о наблюдениях радуги. это вообще удивительная вещь, что такое могло быть написано столько то сотен лет назад. даже сейчас не каждый студент физфака способен разобраться в этом вопросе. вернее - если студенту объяснят, в чем дело, и скажут, как решать - тогда студент что-то напишет, сверяясь с ответами. а самостоятельно - вряд ли. вообще, на это тему сам Декарт писал - сначала надо выбрать аксиомы, а затем вычислять на основе этих аксиом, не сверяясь с экспериментальными данными. почему-то такой подход вызывает возражения, хотя Декарт прав на 100 процентов - есть некоторое явление, ты выбираешь теорию, и рассчитываешь эффекты по этой теории. подгонять вычисления под эксперименты запрещается. в конце можно сравнить результаты, чтобы обосновать применимость теории к исследуемому явлению. но это Декартом подразумевалось - он считал, что аксиомы безусловно верны.

Итак,  

Рене Декарт - о радуге

Радуга - столь замечательное чудо природы, и над ее причинами, до сих пор столь мало известными, во все времена столь настойчиво задумывались пытливые умы,
что мне трудно найти вопрос, на котором я лучше мог бы показать, как при помощи применяемого мною метода можно прийти к знаниям, которыми не обладали те, чьими сочинениями мы располагаем. Во-первых, когда я принял во внимание, что радуга может появляться не только на небе, но также и воздухе
вблизи нас каждый раз, когда в нём находятся капли воды, освещённые солнцем, как это иногда можно видеть на опыте в фонтанах, мне было легко заключить, что она зависит от того, каким образом лучи света действуют на эти капли, а от них достигают нашего глаза. Зная, что эти капли шарообразны, и видя, что и при больших, и при малых каплях радуга появляется всегда одинаковым образом,
я поставил себе целью создать очень большую каплю, чтобы иметь возможность лучше её рассмотреть. Для этого я наполнил водой большой стеклянный сосуд, вполне круглый и вполне
прозрачный, и пришел к следующему выводу: если, например, находится в части неба, обозначенной AFZ, а мой глаз — в точке Е, и я помещал свой шар в BCD, его часть D казалась мне совершенно красной и значительно более яркой, чем
остальное. Если я приближался к сосуду или удалялся от него и помещал его вправо или влево [от себя], или даже поворачивал вокруг своей головы, эта часть казалась все такой же красной, если только линия DE составляла угол около 42° с линией ЕМ, соединяющей центр глаза с центром Солнца.
Но если я несколько увеличивал этот угол, красный цвет исчезал, если же я его немного уменьшал, то он исчезал не так внезапно, а предварительно разделялся как бы на две менее яркие части, в которых можно было видеть желтый цвет, голубой и другие цвета.
Глядя на то место шара, которое обозначено К, я заметил, что, когда угол составлял около 52°, эта часть К также представлялась красной, но менее яркой, чем D. Если я его немного увеличивал, то в ней появлялись и другие более слабые цвета; если же я его чуть-чуть уменьшал или сильно увеличивал,
больше никакой окраски не появлялось. Это было для меня явным доказательством того, что если весь воздух, находящийся в М, наполнен такими шариками или, на их месте, каплями воды, то в каждой из этих капель, — для которых линии, проведенные к глазу Е, составят угол около 42° с ЕМ и которые я
обозначаю R, — должна появиться точка очень яркого красного цвета. Поскольку мы обозреваем эти точки все вместе, отмечая места, где они находятся лишь углом, под которым мы их видим, они должны представиться нам в виде непрерывного круга красного цвета. Точно так же должны существовать и
точки в 5 и Т, для которых линии, проведенные из Е, составляют с ЕМ более острые углы и которые образуют круги более слабой окраски; в этом и состоит первая и главная радуга. Если угол МЕХ составляет 52°, то в каплях, обозначенных X, должен появиться красный круг, а в каплях, обозначенных
Y, — круги более слабых цветов. Они вызывают появление второй, побочной радуги. И наконец, во всех остальных каплях, обозначенных V, не появится никаких цветов. Когда я затем рассмотрел подробнее, почему в шарике BCD часть D
представлялась красной, я нашел, что здесь дело в лучах Солнца, которые, проходя из А в В, преломлялись, входя в воду в точкe В, и шли в С, откуда они отражались в D, и преломлялись
новь при выходе из воды, направляясь в Е, ибо как только я помещал непрозрачное или темное тело в каком-либо участке
линий АВ, CD, ВС или DE, этот красный цвет исчезал, а если я
закрывал весь шар, кроме точек В и D), и помещал темные тела во всяких иных местах, красный цвет продолжал появляться, затем, отыскивая причину красного цвета, возникшего в К, я нашел, что это были солнечные лучи, идущие из F в G, где они преломлялись по направлению к Н, а из Н отражались в I, а из I вновь отражались в К и, наконец,
преломлялись в точке К и направлялись в Е. Таким образом, первая радуга происходит от лучей, которые достигают глаза, после двух преломлений и
одного отражения, а вторая — от других лучей, которые его достигают лишь после двух преломлений и двух отражений; поэтому она не может быть такой яркой, как первая. Но оставалась еще главная трудность, а именно — выяснить, почему при наличии многих других лучей (которые после двух преломлений и
одного или двух отражений могут попасть в глаз, когда шар находится в ином положении) все же лишь те лучи, о которых я говорил, дают различные цвета.
..я еще не знал, почему цвета появлялись там лишь под известными углами, пока я не взял перо и не вычислил подробно хода всех лучей, которые падают на различные точки водяной капли, чтобы узнать, под какими углами они могут попасть в наш глаз после двух преломлений и одного или двух отражений.
Тогда я нашел, что после одного отражения и двух преломлений оказывается гораздо больше лучей, которые могут быть видны под углом от 41 до 42°, чем таких, которые видны под каким-либо меньшим углом, и нет ни одного, который был бы виден под большим. Я нашел также, что после двух отражений и двух преломлений
имеется гораздо больше лучей, падающих в глаз под углом от 51 до 52°, чем таких, которые падали бы под каким-либо большим углом, и нет совсем таких, которые падали бы под меньшим. Вследствие этого получается тень, ограничивающая по одну и по другую сторону свет, который, пройдя через бесчисленное число дождевых капель,
освещенных Солнцем, попадает в глаз под углом 42° или немного менее и дает, таким образом, первую и главную радугу. Так же получается и тень, ограничивающая свет, падающий под углом 51° или немного больше и дающий внешнюю радугу.

Но чтобы те, кто знает математику, могли судить, достаточно ли правильны сделанные мною вычисления для этих лучей, мне следует их здесь пояснить. Пусть DFA [см. рис.] — капля воды, полудиаметр которой CD или АВ я делю на столько равных частей, сколько я хочу вычислить лучей, чтобы на долю одних пришлось столько же света, сколько и на долю других1. Затем я рассматриваю один из этих лучей в отдельности, например FE, который вместо того, чтобы пройти в G, отклоняется в /С, а из К отражается в N, а оттуда идет в глаз Р; или отражается еще раз из N в Q, и оттуда отклоняется к глазу R. Если провести CI под прямым углом к FK, я знаю из того, что было сказано в «Диоптрике», что АЕ или FH и CI находятся между собой в отношении, которым измеряется преломление воды. Если FH содержит 8000 частей таких, каких АВ содержит 10000, то CI будет содержать их примерно 5984, ибо преломление воды немного больше, чем отношение трех к четырем, и, насколько точно я мог измерить, оно составляет 187 к 250. Имея, таким образом, две прямые FH и СI, я легко нахожу две дуги: FG, которая равна 73°44', и FK, которая равна 106°30'. Затем, вычитая удвоенную дугу FK из суммы дуги. FG и 180°, я получаю 40°44' для угла ONP, ибо я предполагаю ON параллельным FE. И, отнимая эти 40°44'из FK, я получаю 65°46' для угла SQR, ибо я полагаю также SQ параллельным FE. Вычисляя таким же способом все другие дуги, параллельные FE, которые проходят через деления диаметра АВ, я составляю следующую таблицу:

Легко видеть из этой таблицы, что имеется гораздо больше лучей, составляющих угол ONP приблизительно 40°, чем лучей, которые составляли бы меньший угол, или угол SQR приблизительно 54°, чем лучей, которые составляли бы больший угол; чтобы сделать её ещё более точной, я даю:

и я вижу отсюда, что самый большой угол UNP может быть равен 41°30', а самый маленький SQR — 51°54'; прибавляя или отнимая приблизительно 17' для полудиаметра Солнца, имею 41°47' для наибольшего полудиаметра внутренней радуги и 51°37' для наименьшего полудиаметра внешней. (...)

Впрочем, мне не стоило труда узнать, почему красный цвет находится снаружи у внутренней радуги и почему он находится внутри внешней. Ибо та же причина, по которой красный цвет виден через призму MNP в F, а не в Н, вызывает следующее: если поместить глаз на место белого полотна FGH и смотреть на эту призму, мы увидим красный цвет в более толстой ее части MР, а синий — в N. Это происходит потому, что окрашенный в красное луч, идущий в Р, исходит из С, т. е. части Солнца, более близкой к MP. И по той же причине, поскольку центр водяных капель, а стало быть более толстая их часть, находится снаружи по отношению к окрашенным точкам, образующим внутреннюю радугу, то и красный цвет дол жен появляться в ней снаружи. Поскольку этот центр расположен внутри по отношению к точкам, образующим внешнюю радугу, то и красный цвет также должен возникать в ней внутри.

радиометр Крукса

читал на новогодних каникулах воспоминания о Зельдовиче, и наткнулся там на такой момент: выпускник физфака приходит на дом к Зельдовичу устраиваться на работу. тот ему в качестве теста указывает на радиометр Крукса и говорит объяснить принцип его действия. молодой физик пишет, что он сумел только сказать, что дело не в давлении света, а в том, что при столковении молекул воздуха с черной стороной импульс отдачи больше, чем при столкновении со светлой стороной лопастей.

радиометр Крукса - это колба, из которой откачали почти весь воздух, там есть крыльчатка с лопастями, одна сторона которых зачернена. если осветить радиометр, крыльчатка начинает вращаться. когда сам Крукс делал этот гадгет, он думал, что демонстрирует давление, оказываемое светом. на самом деле давление света слишком мало, чтобы вращать такую здоровую штуку.

у меня такой характер, что когда всплывают такие расчетные вещи в любом контексте, меня клинит их решить. например, фильм "Умница Уилл Хантинг" я смотрел ровно до того места, где Уилл пишет на доске в коридоре какие-то формулы. дальше я фильм уже не смотрел, а пытался понять, к чему эти формулы и как их самому вывести. так часто со мной бывает.
и с этими мемуарами также получилось. мне загорелось разобраться в принципе работы радиометра. на самом деле не исключено, что нам на лекциях что-нибудь про это рассказывали, но я этого не помню. что я помню, я читал книгу Хуанга "Статистическая механика", и про радиометр Крукса в ней была какая-то задача. так и оказалось. в конце 7-ой главы "Явления переноса" есть 2 задачи, имеющие отношение к радиометру.

впрочем, надо объяснить, почему вообще есть необходимость искать какие-то книги по этому поводу. ведь совершенно очевидно, что сила оказываемая на лопасть, находится просто и равна pS, p - давление, S - площадь лопасти. это что касается светлой лопасти. в отношении зачерненной лопасти немного сложнее. молекула, ударяющая по лопасти, имеет энергию, соотвествующую температуре газа, в среднем. какая ей разница, какая температура у лопасти? более детально: есть молекула воздуха, молекула лопасти, они сталкиваются и разлетаются. скорости обоих молекул распределены по Максвеллу с тмпературами Т и T' соответственно. можно рассмотреть кинетику этого процесса, написать соответствующий интеграл столкновений. проблема в том, что дальше с этим делать. очевидно, что меня не интересует релаксация газа до температуры T'. результатом должно стать некое граничное условие на поверхности лопастей.

в Хуанге по поводу этой задачи предлагается следующая модель: столкновение со светлой стороной упругое, с зачерненной сотороной - молекла прилипает, а затем отлипает со скоростью, распределенной соответственно температуре T'>T. легко подсчитать, что тогда давление на зачерненную сторону равно p/2+p'/2, p'=pT'/T. тогда сила, действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS/2.

вроде все понятно, но все равно остается неясной роль разрежености воздуха. указывается, что при нормальном давлении эффект отсутствует, при большой разреженности лопасти вращаются светлой стороной вперед, при более плотном газе лопасти вращаются зачерненной стороной вперед. эффект зависит от соотношения средней длины свободного пробега и линейного размера лопастей.

зависимость от средней длины пробега указывает на необходимость рассматривать интеграл столкновений молекул воздуха между собой. таким образом, в пространстве, около лопастей конкурируют между собой 2 кинетических механизма - столкновения молекул воздуха между собой и столкновения молекул воздуха со стенкой. разбираем 3 случая.

1. средняя длина свободного пробега много меньше размеров лопастей. при столкновениях молекул воздуха с молекулами стенки, например, лобовых, происходит обмен импульсами. в среднем импульс молекулы воздуха после столкновения выше, чем до. при малой длине свободного пробега произойдет много столкновений этой горячей молекулы с другими, и ее энергия быстро диссипирует. столкновительный член имеет порядок 1/L, L - средняя длина свободного пробега, следовательно, усреднение кинетического уравнения даст обычные уравнения гидродинамики, значения температур на лопастях будут влиять только как граничные условия. так как теплопроводность воздуха очень мала, давление фактически зависит только от плотности воздуха, поэтому решение уравнений гидродинамики даст одинаковые значения давления на обоих сторонах лопастей. эффект в данном случае отсутствует.

2. средняя длина свободного пробега много больше линейного размера лопастей. в этом случае главным релаксационным механизмом будет столкновение молекул воздуха с лопастями. столкновения между молекулами воздуха практически отсутствуют. таким образом, установившееся распределение молукул воздуха у зачерненной стороны лопастей будет максвелловским распределением с температурой T'. сответственно, сила действующая на лопасть, равна (T'/T-1)pS

3. средняя длина свободного пробега сравнима с линейным размером лопасти. в этом случае надо учитывать оба столкновительных члена. тут я на пальцах ничего понять не смог, но смог кое-что прочесть из работы Эйнштейна на эту тему. горячие молекулы после столкновения имеют меньшую длину свободного пробега, чаще сталкиваются с другими молекулами и поэтому уменьшают число столкновений молекул с лопастью. т.е. сила на зачерненную сторону лопасти есть kpST'/T, kT'/T - меньше 1.

последний случай самый интересный, и я еще не доисследовал его до конца. надо по-честному расписать уравнения кинетики и оценить вклады.

ps. в педивикии я прочел, что одним из объяснений эффекта считается привлечение в рассмотрение теплового скольжения - это когда молеклы на поверхности тела скользят в сторону повышения тмепературы. в этом случае создается разрежение на светлой стороне лопастей, и соответствующая разница давлений вращает крыльчатку.